Méthode d'Euler

L'objectif de cette activité est de construire, de façon approchée, la courbe représentative de la fonction exponentielle de base \(\text{e}\) notée \(f\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme la seule fonction exponentielle vérifiant les conditions suivantes :

• la courbe de la fonction \(f\) passe par le point \(\text{M}(0~ ;1)\) ;
  
• la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\) est \(1\).
  

Pour la construction de la courbe représentative de la fonction, on admettra un résultat donné dans la suite du chapitre.

Propriété
La fonction \(f\) vérifie la condition \(f'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

La méthode mise au point par Leonhard Euler (1707-1783) que nous allons utiliser permet de déterminer une suite de points proches de ceux appartenant à la courbe. Nous allons ainsi obtenir une approximation de l'allure de la courbe cherchée.

Méthode 
1. On se place dans un repère et on considère le point \(\text{M}\) de coordonnées \((0~;1)\). Il appartient, par définition, à la courbe représentative de la fonction \(f\).
2. On détermine une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \(\text{M}\).
3. On considère le point \(\text{N}\), appartenant à la tangente, et dont l'abscisse est \(x_\text{M}+h\), \(h\) étant un réel non nul choisi arbitrairement. On calcule l'ordonnée de \(\text{N}\).
4. On réitère l'algorithme de construction à partir du point \(\text{N}\) et on construit d'autres points.

Le fichier de géométrie dynamique suivant permet de visualiser les différentes étapes de construction en déplaçant le curseur « étape ». On pourra choisir différentes valeurs de \(h\) aussi bien strictement positives que strictement négatives et observer l'effet sur l'approximation des points appartenant à la courbe de la fonction exponentielle. On pourra à tout moment la visualiser en cochant la case « Afficher la courbe de la fonction exponentielle ».

Énoncé Calcul des coordonnées des points par la méthode d'Euler

1. Coordonnées du point \(\boldsymbol {\text{N}}\)
    a. Rappeler l'abscisse du point \(\text{N}\) en fonction de \(h\). 
    b. Montrer que l'équation de la tangente \(({T}_\text{M})\) à la courbe représentative de \(f\) au point \(\text{M}\) est \(y=x+1\). 
    c. En déduire l'ordonnée de \(\text{N}\).

2. Coordonnées des points approchant la courbe représentative de la fonction exponentielle
Soit \((x_n)\) la suite des abscisses des points que l'on cherche définie par : \(\begin{cases} x_0 =0\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, x_{n+1} = x_n+h \end{cases}\).
Soit \((y_n)\) la suite des ordonnées des points que l'on cherche définie par : \(\begin{cases} y_0 =1\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, y_{n+1} = (1+h)y_n \end{cases}\). 
Soit \(h=0{,}1\). 
    a. Élaborer une feuille de calcul pour calculer les coordonnées des points à construire comme ci-dessous. 

    b. Quelle formule entrer dans la cellule C3, puis recopier vers la droite, pour obtenir la ligne 3 ?
    c. Afficher le nuage des points de coordonnées \((x_n~;y_n)\).
    d. Modifier la valeur de \(h\) et observer le nuage de points correspondant. Expliquer ce qui se passe lorsque \(h\) est négatif.